📚 MATH-H-1004 : Éléments d'Analyse - Chapitre 1 : Le Champ Ordonné des Réels

Sources utilisées : Texte PDF/PowerPoint du cours et transcription audio de la conférence.

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🎯 Introduction au Cours et Objectifs

Ce cours, MATH-H-1004, est conçu pour poser les bases de l'analyse mathématique, essentielles pour les études d'ingénieur.

Objectifs du Cours ✅

• Développer les outils mathématiques prérequis pour les disciplines de l'ingénieur.
• Apprendre la rigueur mathématique à travers la pratique de la démonstration (par l'absurde, par récurrence, etc.) et l'utilisation de contre-exemples.
• Comprendre l'utilité et l'importance des hypothèses dans tout raisonnement mathématique.

Évaluation 📊

• 75% Théorie : Reproduction et adaptation des démonstrations vues en cours.
• 25% Exercices : Niveau similaire à celui des Travaux Pratiques (TPs).

Philosophie du Cours 💡

Les mathématiques ne s'étudient pas, elles se pratiquent ! L'engagement actif est la clé de la maîtrise.

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🔢 Les Nombres : Des Fondamentaux aux Irrationnels

Nous commençons par explorer les différentes catégories de nombres qui constituent le fondement de l'analyse.

Classification des Ensembles de Nombres 🌍

• Nombres Binaires : L'ensemble le plus simple, contenant uniquement {0, 1}.
• Ensembles Finis : Des collections d'éléments spécifiques, par exemple A = {0, 2, 5, 9}.
• Nombres Naturels (ℕ) : {0, 1, 2, 3, 4, ...}.
  • Ils sont en correspondance bijective avec les nombres binaires.
  • Leur cardinalité est infinie : |ℕ| = ℵ₀ (aleph-zéro).
  • Exemple de conversion binaire : 13 = 1·2³ + 1·2² + 0·2¹ + 1·2⁰ = 1101₂.
• Nombres Entiers (ℤ) : {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}.
  • Incluent les naturels et leurs opposés.
  • Leur cardinalité est égale à celle des naturels : |ℤ| = |ℕ|.
• Nombres Rationnels (ℚ) : {m/n | m ∈ ℤ, n ∈ ℤ⁺₀}.
  • Peuvent être exprimés comme une fraction de deux entiers (avec le dénominateur non nul).
  • Leur cardinalité est égale à celle des entiers et des naturels : |ℚ| = |ℤ| = |ℕ|.

Le Nombre d'Or (Φ) 🌟

Le nombre d'or, noté Φ (Phi), est une constante mathématique célèbre.

• Définition : Φ = (1 + √5) / 2
• Valeur approximative : Φ ≈ 1,6180339...
• Propriété : Φ est solution de l'équation Φ² - Φ - 1 = 0.

Démonstration 1 : Φ n'est pas un nombre rationnel (Φ ∉ ℚ) ⚠️

Cette démonstration utilise la méthode par l'absurde.

1. Hypothèse par l'absurde : Supposons que Φ est un nombre rationnel.
   • Si Φ ∈ ℚ, alors Φ peut s'écrire sous la forme p/q, où p et q sont des entiers, q ≠ 0, et PGCD(p, q) = 1 (c'est-à-dire p et q sont premiers entre eux).
2. Substitution dans l'équation : Puisque Φ est solution de Φ² - Φ - 1 = 0, nous substituons p/q :
   • (p/q)² - (p/q) - 1 = 0
   • p²/q² - p/q - 1 = 0
   • Multiplions toute l'équation par q² pour éliminer les dénominateurs : p² - pq - q² = 0
3. Analyse de l'équation résultante :
   • Réarrangeons l'équation : p² = pq + q²
   • Factorisons q du côté droit : p² = q(p + q)
   • Cette égalité implique que q divise p².
4. Utilisation de la propriété des nombres premiers entre eux :
   • Puisque p et q sont premiers entre eux, si q divise p², alors q doit être égal à 1. (Si q avait un facteur premier, ce facteur devrait aussi diviser p, contredisant PGCD(p,q)=1).
5. Conséquence de q = 1 :
   • Si q = 1, l'équation p² - pq - q² = 0 devient p² - p(1) - 1² = 0, soit p² - p - 1 = 0.
   • Réarrangeons : p(p - 1) = 1.
6. Contradiction :
   • Pour que le produit de deux entiers p et (p - 1) soit égal à 1, il faut que p = 1 et p - 1 = 1 (ce qui est impossible car 1 - 1 = 0 ≠ 1), ou p = -1 et p - 1 = -1 (ce qui est impossible car -1 - 1 = -2 ≠ -1).
   • Il n'existe donc pas d'entier p satisfaisant p(p - 1) = 1.
7. Conclusion : Notre hypothèse initiale que Φ est rationnel conduit à une contradiction. Par conséquent, Φ n'est pas un nombre rationnel ; il est irrationnel. ✅

Le Cas de √2 🌿

Un autre exemple fondamental de nombre irrationnel est la racine carrée de 2.

Démonstration 2 : √2 n'est pas un nombre rationnel (√2 ∉ ℚ) ⚠️

Cette démonstration utilise également la méthode par l'absurde.

1. Hypothèse par l'absurde : Supposons que √2 est un nombre rationnel.
   • Si √2 ∈ ℚ, alors √2 peut s'écrire sous la forme p/q, où p et q sont des entiers, q ≠ 0, et PGCD(p, q) = 1 (c'est-à-dire p et q sont premiers entre eux).
2. Élévation au carré :
   • √2 = p/q
   • (√2)² = (p/q)²
   • 2 = p²/q²
   • 2q² = p²
3. Analyse de la parité de p :
   • L'équation 2q² = p² signifie que p² est un nombre pair.
   • Si p² est pair, alors p doit être pair. (Si p était impair, p² serait impair).
4. Substitution de p :
   • Puisque p est pair, nous pouvons écrire p = 2r pour un certain entier r.
   • Substituons p = 2r dans 2q² = p² : 2q² = (2r)²
   • 2q² = 4r²
   • Divisons par 2 : q² = 2r²
5. Analyse de la parité de q :
   • L'équation q² = 2r² signifie que q² est un nombre pair.
   • Si q² est pair, alors q doit être pair.
6. Contradiction :
   • Nous avons montré que p est pair et q est pair.
   • Ceci contredit notre hypothèse initiale que p et q sont premiers entre eux (car s'ils sont tous deux pairs, ils ont un facteur commun de 2).
7. Conclusion : Notre hypothèse initiale que √2 est rationnel conduit à une contradiction. Par conséquent, √2 n'est pas un nombre rationnel ; il est irrationnel. ✅

Exercice : Démontrer que √3 n'est pas un nombre rationnel 💡

(La méthode est similaire à celle utilisée pour √2).

Les Nombres Irrationnels 📚

• Conclusion : Des nombres comme √2 et Φ appartiennent à ℝ \ ℚ (l'ensemble des réels moins les rationnels).
• Exemples : √13, π (pi), e (constante de Neper), etc.

Le Théorème de Fermat 📜

• Énoncé : Il n'existe pas de nombres entiers strictement positifs x, y, z tels que xⁿ + yⁿ = zⁿ dès que n > 2.
  • Pour n = 1 : 2¹ + 3¹ = 5¹ (vrai)
  • Pour n = 2 : 3² + 4² = 5² (vrai, triplet pythagoricien)
• Historique : Proposé par Fermat au 17e siècle, démontré par Andrew Wiles en 1994.
• Corollaire : Il n'existe pas de nombres rationnels a, b tels que aⁿ + bⁿ = 1 pour n > 2.

La Taille de ℝ par rapport à ℚ 📈

• Question : Quelle est la cardinalité de ℝ ? Est-ce que |ℝ| > |ℚ| ?
• Réponse : Oui, la cardinalité des réels est strictement supérieure à celle des rationnels.
• Méthode : L'argument de la diagonale de Cantor, appliqué par exemple à l'intervalle [0, 1[, démontre que ℝ est "plus grand" que ℚ.

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🧮 Les Réels : Corps Commutatif et Complétude

Nous abordons maintenant la structure formelle des nombres réels, en commençant par les axiomes qui les définissent.

Rappel : Corps Commutatif 📚

Un corps commutatif est un ensemble K muni de deux opérations, l'addition (+) et la multiplication (·), qui satisfont les axiomes suivants :

(A) Axiomes de l'Addition (+)

1. Fermeture (A.1) : Si x ∈ K et y ∈ K, alors x + y ∈ K.
2. Commutativité (A.2) : x + y = y + x, pour tout x, y ∈ K.
3. Associativité (A.3) : (x + y) + z = x + (y + z), pour tout x, y, z ∈ K.
4. Élément Neutre (A.4) : K contient un élément 0 tel que 0 + x = x pour tout x ∈ K.
5. Opposé (A.5) : Pour tout x ∈ K, il existe un élément (-x) ∈ K tel que x + (-x) = 0.

(M) Axiomes de la Multiplication (·)

1. Fermeture (M.1) : Si x ∈ K et y ∈ K, alors x · y ∈ K.
2. Commutativité (M.2) : x · y = y · x, pour tout x, y ∈ K.
3. Associativité (M.3) : (x · y) · z = x · (y · z), pour tout x, y, z ∈ K.
4. Élément Neutre (M.4) : K contient un élément 1 ≠ 0 tel que 1 · x = x pour tout x ∈ K.
5. Inverse (M.5) : Pour tout x ∈ K tel que x ≠ 0, il existe un élément (1/x) ∈ K tel que x · (1/x) = 1.

(D) Axiome de Distributivité

• x · (y + z) = x · y + x · z, pour tout x, y, z ∈ K.

Le Champ Ordonné des Réels (ℝ) 📏

L'ensemble ℝ, muni de l'addition et de la multiplication, est un champ ordonné. Cela signifie qu'il est également muni d'une relation d'ordre total ≤, compatible avec les opérations.

Propriétés de la Relation d'Ordre ≤

Pour tout x, y, z ∈ ℝ :

• Si x ≤ y, alors x + z ≤ y + z.
• Si 0 ≤ x et 0 ≤ y, alors 0 ≤ x · y.

Conséquences Importantes

• x ≤ 0 ⇔ -x ≥ 0
• Si x ≤ y et 0 ≤ z, alors x · z ≤ y · z.
• Si x ≤ y et 0 ≥ z, alors x · z ≥ y · z.

Ensembles Convexes (Intervalles) ↔️

La relation d'ordre permet de définir les intervalles, qui sont des sous-ensembles connexes de ℝ.

• Droite Réelle : ℝ = ]-∞, +∞[ (où +∞ et -∞ ne sont pas des réels).
• Intervalle Fermé : [a, b] = {x ∈ ℝ; a ≤ x ≤ b}
• Intervalle Ouvert : ]a, b[ = {x ∈ ℝ; a < x < b}
• Demi-droite Fermée : [a, +∞[ = {x ∈ ℝ; a ≤ x}
• Demi-droite Ouverte : ]a, +∞[ = {x ∈ ℝ; a < x}
• Connexité : Un ensemble C ⊆ ℝ est connexe si pour tout a, b ∈ C avec a < b, alors tout c tel que a < c < b appartient aussi à C. Les intervalles sont des ensembles connexes.

Majorants, Minorants et Ensembles Bornés 📈📉

Ces concepts sont cruciaux pour comprendre la structure des réels.

• Majorant : M majore un ensemble A si a ≤ M pour tout a ∈ A.

• Ensemble Borné Supérieurement : A est borné supérieurement s'il existe au moins un majorant réel M.

• Maximum : Le maximum de A est le plus grand élément de A (s'il existe). Il doit appartenir à A.

• Minorant : m minore un ensemble A si m ≤ a pour tout a ∈ A.

• Ensemble Borné Inférieurement : A est borné inférieurement s'il existe au moins un minorant réel m.

• Minimum : Le minimum de A est le plus petit élément de A (s'il existe). Il doit appartenir à A.

Exemple : A = ]-2, 2]

• Majorants : [2, +∞[

• Minorants : ]-∞, -2]

• Maximum : 2 (car 2 ∈ A et 2 est le plus grand élément).

• Minimum : Aucun (car -2 ∉ A, et pour tout x ∈ A proche de -2, on peut trouver un y ∈ A tel que y < x).

• Ensemble Borné : Un ensemble A est borné s'il est à la fois borné supérieurement et inférieurement.

  • Équivalence 1 : Il existe m, M ∈ ℝ tels que pour tout a ∈ A, m ≤ a ≤ M.
  • Équivalence 2 : Il existe M' ∈ ℝ tel que pour tout a ∈ A, |a| ≤ M'.
  • ⚠️ Subtilité des quantificateurs : L'ordre des déclarations est important. ∀a ∈ A, ∃M' ∈ ℝ : |a| ≤ M' n'est pas équivalent aux définitions ci-dessus, car M' pourrait dépendre de a.

Ensemble Complet (Axiome de Dedekind) 📚

La complétude est une propriété fondamentale qui distingue ℝ de ℚ.

• Axiome de Dedekind : Pour tous sous-ensembles non vides A ⊆ ℝ et B ⊆ ℝ tels que pour tout a ∈ A et tout b ∈ B, on a a ≤ b, alors il existe au moins un réel c tel que pour tout a ∈ A et tout b ∈ B, a ≤ c ≤ b. Ce c "sépare" les deux ensembles.

• Non-complétude de ℚ : L'ensemble des rationnels ℚ ne satisfait pas l'axiome de Dedekind.

  • Contre-exemple : Soient A = {q ∈ ℚ; q < √2} et B = {q ∈ ℚ; q > √2}.
  • Pour tout a ∈ A et b ∈ B, on a a ≤ b.
  • Cependant, il n'existe aucun c ∈ ℚ tel que a ≤ c ≤ b pour tous a ∈ A et b ∈ B. Le "trou" entre A et B est √2, qui n'est pas rationnel.

Supremum et Infimum 💡

Ces concepts sont directement liés à la complétude des réels.

• Définitions :
  • Le supremum (sup A) est le plus petit des majorants de A.
  • L'infimum (inf A) est le plus grand des minorants de A.
• Distinction avec max/min : Le supremum/infimum existe même si l'ensemble n'a pas de maximum/minimum (c'est-à-dire si le sup/inf n'appartient pas à l'ensemble).

Proposition : Existence du Supremum ⚠️

Si un ensemble A est borné supérieurement, alors sup A existe dans ℝ. Autrement dit, si A possède un majorant réel, alors A possède un plus petit majorant réel.

Démonstration 3 : Existence du Supremum (par l'axiome de Dedekind) ⚠️

1. Hypothèses :
   • Soit A un sous-ensemble non vide de ℝ.
   • A est borné supérieurement. Cela signifie qu'il existe au moins un majorant pour A.
2. Construction de l'ensemble des majorants :
   • Soit B l'ensemble de tous les majorants de A. Puisque A est borné supérieurement, B est non vide.
3. Application de l'axiome de Dedekind :
   • Par définition de B, pour tout a ∈ A et tout b ∈ B, on a a ≤ b.
   • L'axiome de Dedekind stipule qu'il existe un réel c tel que pour tout a ∈ A et tout b ∈ B, a ≤ c ≤ b.
4. Interprétation de c :
   • a ≤ c pour tout a ∈ A : Cela signifie que c est un majorant de A. Donc c ∈ B.
   • c ≤ b pour tout b ∈ B : Cela signifie que c est inférieur ou égal à tous les majorants de A.
5. Conclusion : c est un majorant de A et est le plus petit de tous les majorants de A. Par définition, c = sup A. Ainsi, le supremum de A existe dans ℝ. ✅

• N.B. : Cette propriété est fausse dans ℚ. L'ensemble {q ∈ ℚ⁺ | q² < 2} est borné supérieurement dans ℚ (par exemple par 2), mais n'a pas de supremum dans ℚ (son supremum est √2, qui n'est pas rationnel).

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➕ Inégalités et Valeur Absolue

Pour finir, nous examinons les propriétés des inégalités et de la valeur absolue.

Définition de la Valeur Absolue 📚

La valeur absolue d'un nombre réel x, notée |x|, est définie comme suit :

• |x| = x si x ≥ 0
• |x| = -x si x < 0

Inégalité Triangulaire 📐

L'inégalité triangulaire est une propriété fondamentale de la valeur absolue.

• Énoncé : Pour tous x, y ∈ ℝ, on a |x + y| ≤ |x| + |y|.

Démonstration 4 : Inégalité Triangulaire (par cas) ⚠️

Nous allons prouver cette inégalité en considérant les différents cas possibles pour les signes de x et y.

1. Cas 1 : x ≥ 0 et y ≥ 0

   • Alors x + y ≥ 0.
   • |x + y| = x + y
   • |x| = x et |y| = y
   • Donc, |x + y| = |x| + |y|. L'inégalité est vérifiée (égalité).

2. Cas 2 : x ≤ 0 et y ≤ 0

   • Alors x + y ≤ 0.
   • |x + y| = -(x + y) = -x - y
   • |x| = -x et |y| = -y
   • Donc, |x + y| = |x| + |y|. L'inégalité est vérifiée (égalité).

3. Cas 3 : x ≥ 0 et y < 0 (sans perte de généralité, on peut supposer |x| ≥ |y| ou |x| < |y|)

   • Sous-cas 3a : x + y ≥ 0
     • |x + y| = x + y
     • Puisque y < 0, on a y < |y|.
     • Donc x + y < x + |y|.
     • Et x = |x|.
     • Ainsi, |x + y| < |x| + |y|. L'inégalité est vérifiée.
   • Sous-cas 3b : x + y < 0
     • |x + y| = -(x + y) = -x - y
     • Puisque x ≥ 0, on a -x ≤ |x|.
     • Puisque y < 0, on a -y = |y|.
     • Donc -x - y ≤ |x| + |y|. L'inégalité est vérifiée.

4. Cas 4 : x < 0 et y ≥ 0

   • Ce cas est symétrique au Cas 3 (en échangeant x et y) et aboutit à la même conclusion.

Dans tous les cas, l'inégalité |x + y| ≤ |x| + |y| est vérifiée. ✅

Exercices sur les Inégalités 📝

1. Montrer que |x| - |y| ≤ |x - y|

   • Indice : Utiliser un artifice de calcul. Écrire x = (x - y) + y.
   • Appliquer l'inégalité triangulaire à |x| = |(x - y) + y|.
   • |x| ≤ |x - y| + |y|.
   • En réarrangeant, on obtient |x| - |y| ≤ |x - y|.

2. Montrer que ||x| - |y|| ≤ |x| + |y|

   • Cette inégalité est une conséquence des propriétés de la valeur absolue.
   • On sait que |x| - |y| ≤ |x - y|.
   • On sait aussi que |y| - |x| ≤ |y - x| = |-(x - y)| = |x - y|.
   • Donc -(|x - y|) ≤ |x| - |y| ≤ |x - y|.
   • Ceci implique ||x| - |y|| ≤ |x - y|.
   • Puisque |x - y| ≤ |x| + |-y| = |x| + |y| (par l'inégalité triangulaire),
   • Alors ||x| - |y|| ≤ |x| + |y|.

Propriété Généralisée de l'Inégalité Triangulaire 🔢

• Proposition : Pour une somme finie de termes, |∑ᵢⁿ xᵢ| ≤ ∑ᵢⁿ |xᵢ|.

Démonstration 5 : Inégalité Triangulaire Généralisée (par récurrence) ⚠️

1. Initialisation :

   • Pour n = 1 : |x₁| ≤ |x₁| (vrai).
   • Pour n = 2 : |x₁ + x₂| ≤ |x₁| + |x₂| (c'est l'inégalité triangulaire de base, que nous avons déjà démontrée). La proposition est vraie pour n = 1 et n = 2.

2. Hypothèse de Récurrence (HR) :

   • Supposons que la proposition est vraie pour un certain entier n ≥ 1. C'est-à-dire, |∑ᵢⁿ xᵢ| ≤ ∑ᵢⁿ |xᵢ|.

3. Étape de Récurrence :

   • Nous voulons prouver que la proposition est vraie pour n + 1. C'est-à-dire, |∑ᵢⁿ⁺¹ xᵢ| ≤ ∑ᵢⁿ⁺¹ |xᵢ|.
   • Considérons la somme de n + 1 termes : |∑ᵢⁿ⁺¹ xᵢ| = |(x₁ + x₂ + ... + xₙ) + xₙ₊₁|
   • Appliquons l'inégalité triangulaire de base (|a + b| ≤ |a| + |b|) en posant a = (x₁ + ... + xₙ) et b = xₙ₊₁ : |(x₁ + ... + xₙ) + xₙ₊₁| ≤ |x₁ + ... + xₙ| + |xₙ₊₁|
   • Maintenant, appliquons l'Hypothèse de Récurrence à la somme des n premiers termes : |x₁ + ... + xₙ| ≤ |x₁| + ... + |xₙ|
   • En combinant ces deux étapes, nous obtenons : |∑ᵢⁿ⁺¹ xᵢ| ≤ (|x₁| + ... + |xₙ|) + |xₙ₊₁| |∑ᵢⁿ⁺¹ xᵢ| ≤ ∑ᵢⁿ⁺¹ |xᵢ|

4. Conclusion : Par le principe d'induction mathématique, la proposition est vraie pour tout n ≥ 1. ✅

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